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我的提问：令$\cal{C},\cal{D}$为范畴（或者栈）。令$F:\cal{C}\rightarrow\cal{D}$是一个本质满射的函子，即在对象同构类上满射。然后$F$是小范畴（或者栈）范畴中的一个满态射吗？回答：不是。例如，任何一个对象的范畴之间的函子是本质满射的，但是如果$M_1, M_2$是两个非零幺半群，那么一个直和项的包含映射$M_1 \to M_1 \oplus M_2$，看成是两个单对象范畴间的一个函子，不是一个范畴的满态射。不过记住，“小范畴范畴中的满态射”由于多种原因，在任何特定应用中，都显然不是“正确”的概念。它抛弃了自然变换，所以你忽略了这样一个事实，即你其中在2-范畴里操作；并且在任何特定情况下，你可能需要各种“满态射”的概念。

我的提问：众所周知，范畴中对象之间的态射都是保持结构的。但是在一本教材中，我发现它说态射一般是保持结构的。这是否意味着存在不保持结构的态射？回答1：一个范畴不需要非得由带有某些额外结构的集合与保持这个结构的映射构成。不是这种类型的范畴的例子有：给定任意一个群$G$，我们可以构造一个范畴，它由一个对象$*$和每个$g\in G$的一个态射$\varphi_g\colon *\to *$组成。这里，态射的复合通过群运算来定义，并且$\operatorname{id}_* = \varphi_{e}$对于单位元$e\in G$。给定一个偏序集$(P,\le)$，我们可以构造一个范畴，它由对象集$P$和每个满足$x\le y$的$x,y\in P$有且仅有一个的态射$x\to y$组成。拓扑空间的同伦范畴，它的对象都是拓扑空间，每个态射$X\to Y$是一个连续映射$f\colon X\to Y$的同伦群$[f]$。回答2：我认为问题出在这里众所周知，范畴中对象之间的态射都是保持结构的。事实并非如此。范畴这个概念推广了“带有结构的集合和保持结构的函数”，例如群和同态，或者拓扑空间和连续映射。但 ...

令$A,B$为特征$p$的交换环。令$\phi_{A}:A\rightarrow A,\phi_{B}:B\rightarrow B$为Frobenius态射，即$p$次方映射。如果我们有 ${\rm{colim}}_{n\in\mathbb{N}}A\cong {\rm{colim}}_{n\in\mathbb{N}}B$，其中transition映射为Frobenius态射，那么我们可以得出$A\cong B$吗？答案：不能。回顾一下，一个$\mathbb{F}_p$-代数$R$是完美的，如果它的Frobenius映射$\varphi : R \ni r \mapsto r^p \in R$是一个同构。Frobenius态射的次方的余极限${\rm{colim}}_{n\in\mathbb{N}}R$是$\mathbb{F}_p$-代数$R$的完美化，并且它这样命名是因为它是完美$\mathbb{F}_p$-代数到$\mathbb{F}_p$-代数的包含映射的左伴随。这使得完美$\mathbb{F}_p$-代数构成了一个$\mathbb{F}_p$-代数的反射子范畴，这意味着在完美 ...

下面我来讲一下我对Grothendieck universes粗浅的理解。首先，我们知道当年Cantor的朴素集合论是有漏洞的，这些漏洞所衍生出的悖论，比如罗素悖论，引发了第三次数学危机。后来为了解决这些问题，发展出了诸多新的理论，其中一个就是如今也经常使用的ZFC公理系统。在ZFC框架下，所有的数学对象都是集合，而所谓的所有集合的“集合”严格来说不是一个数学对象，它不能构成一个集合，那么我们称它为一个class。class的定义很明了，它的成员就是所有享有某些共同性质的数学对象，其实就是最初对集合的定义，现在区分开来，因为它不一定构成一个集合。如果一个cass不能构成一个集合，我们称它为一个proper class。接一下来，来到Grothendieck universes，它是上个世纪60年代由Grothendieck提出来的用来避免proper classes的。Grothendieck universe是一个非空集合，在这个集合里面，所有通常的集合的运算封闭，比如说取一个集合里的元素、索引并集将两个元素构成一个集合等，这样在计算中就不用担心出现不构成集合的情况。后面，Groth ...