My question: Theorem 22.3 (Smooth invariance of domain). Let $U \subset\mathbb{R}^n$ be an open subset, $S \subset\mathbb{R}^n$ an arbitrary subset, and $f : U \rightarrow S$ a diffeomorphism. Then $S$ is open in $\mathbb{R}^n$.I can't understand why the set $S$ is not automatically open in $\mathbb{R}^n$. The mapping is a diffemorphism, which means it is continuous in both directions, so $S$ is open.Answer: All you know a priori, is that open sets $V$ of $U$ satisfy: $f(V)$ is open in $S$, not that $f(V)$ is open in $\mathbb{R}^n$. So, $f(U)=S$ is open in $S$. The claim is then that $f(U)=S$ is actually open in $\mathbb{R}^n$, which is not the same thing and is not automatic. It requires proof.This speaks of an important blind spot of open sets in topology, i.e. openness is relative. In particular, when considering some subset of a topological space, you should figure out if it is open in the subset, or in the ambient space.

又是枯燥的一天，今天我重回代数拓扑，重新搞懂了一些以前不懂的东西。在这里我不得不吐槽一下，代数拓扑是真的难学，虽然这可能是因为我选的教材的原因，因为我更加喜欢内容简洁直奔主题的书，不喜欢总是废话一大篇的内容，不过这却更加增强了内容的抽象程度，也意味着更大的挑战。我看过几本关于代数拓扑的书，但目前我就在用Tammo Tom Dieck的Algebraic Topology这本书。首先这本书是不适合初学者的，因为它需要一定的一般拓扑学的基础，而且如同我上面所说的一样，这本书作者说的话非常地精炼，加上基本上纯文字叙述，显得抽象性非常地高。同时，书本中的很多命题都没有证明，有些应该是结论的命题直接出现在正文的叙述中，默认读者已知。这无不给读者增添了难度。重回主题，今天我学代数拓扑，在复习连通空间的过程中，遇到几个怎么想都想不懂的问题，然后我果断打开维基搜索connected space，并查阅其它书籍，发现我的问题跟connected space的两个命题有关，其中有个还没有证明。于是，我犹豫了几下，果断开始尝试自己证明，放弃去查找证明，就当作自己平时的练习吧。其实数学证明有时候是不需要动笔写的，直接脑子过一遍证出来就过了。不过这次我还是尝试写一写完整的证明，毕竟写论文的时候还是需要有完整的证明的，不会写就完蛋了。第一个命题，我花了一分钟左右就直接证完了，非常地简单，这有点出乎我的意料，因为写之前我几乎没有任何头绪。第二个命题我在证之前先自己写个类似的命题去证，结果最后一步卡住了证不出矛盾，于是我改回原来的条件，瞬间就证出来了。其实正如Deligne所说：All the mathematical problems are psychological。所有的数学问题都是心理上的。遇到这两个命题时我毫无头绪，也不知如何下手。但接下来我克服心理障碍，尝试动笔去证出来，最后两个命题都用反证法给证出来了，整个过程行云流水，因为数学本就是自然的。所以，别再说什么学数学秃头了，学数学最大的困难就是心理障碍而已。图1 拓扑学关于连通性的两个命题的证明图2 维基百科连通空间图3 连通空间的一个命题——————————————————————————本文原于2020年9月1日 23:57发布于QQ空间

以及有没有推荐的点集拓扑教材