Manitori

高代继续吐槽：我今天才发现书上线性空间的定义竟然还是在数域上的。我就想不懂用域不行吗？即便学生不懂介绍个域的概念有多难，中学生都能理解的东西，大学学数学专业课的人会理解不了？各种定义原本应该是非常一般的东西偏偏要降低一个档次，把域换成数域。是因为作者觉得数域上才具有足够具体的操作性吗？我不觉得这成立，数域是域的特殊情况，讲域不会影响些什么，其实国内教材里面数域这个概念根本就是多余的，我没见过国外哪个好的教材会讲数域这个概念。英文上number field是algebraic number field的简称，是有理数域的有限扩张，跟国内的数域完全不同。比如说，实数域不是数域，因为它viewed as linear space over $\mathbb{Q}$的维度是无限的，即不是有理数域上的有限扩张。因此如果有能力的话尽量别看国内的这种教材，它会误导你对数学正确的理解，多看国外英文教材，当然我不否定国内也有好的教材。——————————————————————本文原于2021年3月12日 09:46发布于QQ空间评论：好的教材对考研和期末考没啥帮助PS：关于国内外教材的对比，到底谁更好 ...

大学数学颠覆惯性思维系列之向量可以没有方向。线性代数有个东西就做向量空间，向量空间有两种封闭的运算（加法和数乘）。只要是向量空间里面的元素都叫做向量vector，我管你有没有方向direction。只要一个集合里的元素满足下图的那些公理，它都能叫做向量。我们高中所学的向量严格来讲叫做欧几里得向量（Euclidean vector）或者几何向量，它被定义为既有大小（magnitude）又有方向（direction）的一个有向线段，又或者说跟高深一点它是一个等价类（equivalence class）。总之高中所学的向量是十分狭义意义上的向量，并不是一般意义上的。为了方便理解，我举一个最trivial的例子。比如$\mathbb{R}$是$\mathbb{R}$上的向量空间，于是$\mathbb{R}$里的元素就被称为向量，显然$\mathbb{R}$里的元素就是我们之前所熟知的标量，但是它同时可以是一个向量。因此，数学里一样东西是不是向量跟它有没有方向并没有什么必然关系，标量同样可以是向量。PS：话说高中时期的标量定义也很狭义，在一般意义上，标量就是向量空间的系数域里的元素。但这也不影响 ...