大学数学颠覆惯性思维系列之向量可以没有方向。线性代数有个东西就做向量空间，向量空间有两种封闭的运算（加法和数乘）。只要是向量空间里面的元素都叫做向量vector，我管你有没有方向direction。只要一个集合里的元素满足下图的那些公理，它都能叫做向量。我们高中所学的向量严格来讲叫做欧几里得向量（Euclidean vector）或者几何向量，它被定义为既有大小（magnitude）又有方向（direction）的一个有向线段，又或者说跟高深一点它是一个等价类（equivalence class）。总之高中所学的向量是十分狭义意义上的向量，并不是一般意义上的。

为了方便理解，我举一个最trivial的例子。比如$\mathbb{R}$是$\mathbb{R}$上的向量空间，于是$\mathbb{R}$里的元素就被称为向量，显然$\mathbb{R}$里的元素就是我们之前所熟知的标量，但是它同时可以是一个向量。因此，数学里一样东西是不是向量跟它有没有方向并没有什么必然关系，标量同样可以是向量。

PS：话说高中时期的标量定义也很狭义，在一般意义上，标量就是向量空间的系数域里的元素。但这也不影响我上面的结论：向量跟方向没啥关系，标量可以是向量。

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本文原于2020年8月8日 01:02发布于QQ空间

评论：标量跟向量在高中也不矛盾吧……

回复：谁说不矛盾的，标量是没有方向的，向量是有向线段。

评论：标量在高中阶段大多数时候是跟矢量对标的，是物理意义上啊，高三开始数学里标量几乎就不见了

回复：这是你片面的见解，证明你连高中数学都没搞清楚。物理的那个矢量就是在运用数学的那个几何向量，它的英文都是vector，只不过是中文不一样罢了。而标量scalar，就是指只有大小的量，但这已经过时了。