作者简介：艾林‧杰克逊（Allyn Jackson）曾任美国数学学会会讯（Notices of the AMS）的副主编与总主笔，加州大学柏克莱分校数学硕士。她觉得能结合数学和写作两个非常不同的领域，面对各种数学课题和数学人物，收获很大。

译者简介：翁秉仁为台湾大学数学系副教授。

本文原文发表在 2004 年的 Notices of the AMS 51卷第 9 期，以下译文刊登在《数理人文》创刊号（2013 年 12 月）。媒体或机构如需转载，请联系《数理人文》杂志（微信号：math_hmat）。

重点摘要

格罗腾迪克是二十世纪的数学大师，为代数几何开启全新的面貌，数学影响仍方兴未艾。

格罗腾迪克早年多舛，与父母颠沛流离。他的数学背景贫乏，一切出于自学，但天资奇高，在苦学深思与师友攻错下，终于成为一代宗师。

格罗腾迪克以韦伊猜想为目标，从范畴论观点所铸造的新工具，连结了离散的数论世界与连续的拓扑世界，启迪了多位菲尔兹奖得主的工作。

如果不把科学看成权力和宰制的工具，而是我们物种在时间长河进行的知识探险。每门科学好比和声一样，依时更迭，或广袤，或丰盈。就像顺着世世代代于焉展露的乐曲，所有主题的精致对位轮流演奏，宛如来自空无的召唤。 ──《收割与播种》 p.20

数学家格罗腾迪克（Alexandre Grothendieck）对于与数学有关的事物非常敏锐，能够深刻感受到数学建筑结构中精巧与优雅的面向。以他生平的一些高峰为例，他是法国科学高等研究院（IHÉS）的创办人之一，1966 年又获得菲尔兹奖，光这些就足以保证他跻身二十世纪数学的万神殿。不过这些细节并不足以掌握格罗腾迪克研究的本质，他的成就根源植于更有生机、更质朴的地方。正如他在长篇回忆录《收割与播种》（Récoltes et Semailles）中所述：“聆听事物之声的专注品质，陶冶出研究者创造力与想像力的品质。”（黑体为原作者所加，p.27）。如今格罗腾迪克自己的声音，体现在他的著作里，也彷彿得透过空无，才能传到我们的耳中。高龄七十六岁【编注：本文写作时间为 2004 年】的他，住在法国南部一处偏远的小村落里，已经遁世隐居十余年。

1965 年左右的格罗腾迪克

依据密西根大学巴斯（Hyman Bass）的看法，格罗腾迪克的数学观点，以“宇宙般的广度”改变了数学的风貌。他的观点直接被数学所吸收，以致于现在的数学新手很难再想像这个领域以前的模样。格罗腾迪克留下最深刻印记的领域是代数几何，他强调发现数学对象之间的关系，可以做为理解数学对象的一种途径。格罗腾迪克具有极强、甚至可说是超凡绝世的抽象能力，让他可以从十分广义的脉络里看待问题，而且他能很灵敏精确的运用这份抽象能力。事实上，从二十世纪中叶起，整个代数几何领域愈来愈抽象和普遍的研究倾向，大部分得归诸格罗腾迪克的影响。但是，单纯为普遍而普遍，可能发展出贫瘠与乏味数学理论的危险，格罗腾迪克却从未涉身其中。

格罗腾迪克在二次大战时的早年生活，充满混乱和创伤，他也缺乏良好的教育背景。格罗腾迪克如何从这样困蹇不足的起点脱颖而出，将自己淬炼成当世顶尖数学家的历程，是一个充满戏剧性的故事，就如同他在 1970 年时突然决定离开数学界一样，当时他的伟大成就正开花结果，而其非凡人格也深深影响这个社群。

早年生活

在我们（高中）的数学书籍里，我最不满意的是缺乏（曲线）长度、（曲面）面积、（立体）体积的严格定义。我立誓如果有机会，我将填补这个罅隙。 ──《收割与播种》 p.3

普林斯顿高等研究院的伯瑞尔（Armand Borel）于 2003 年 8 月过世，享年 80 岁。他回忆第一次见到格罗腾迪克，是在 1949 年 11 月巴黎的布巴基（Bourbaki）讨论班。当时在演讲空档，20 几岁的伯瑞尔正与法国数学界领导人物 45 岁的厄瑞斯曼（Charles Ehresmann）聊天。伯瑞尔回忆说，当时有一个年轻人大步走近厄瑞斯曼，没有任何寒暄，就开门见山问说：“你是拓扑群的专家吗？”厄瑞斯曼不想显得傲慢，回答说是的，他了解一点拓扑群。但是这位年轻人坚持：“但我需要真正的专家！”这就是当时的格罗腾迪克，21 岁的年纪，鲁直而强势，虽然不完全无礼，但是对社交仪节却懵然无知。伯瑞尔还记得格罗腾迪克当时的疑问：“是不是所有的局部拓扑群都是大域拓扑群的芽（germ）?”结果伯瑞尔恰巧知道一个反例。格罗腾迪克的疑问显示，当时他已经以非常普遍的方式在思考数学。

1940 年代末的巴黎时光，是格罗腾迪克真正接触数学研究的开始。在此之前，从他的人生事历（至少就我们所知），并没有什么线索，看得出他注定将成为数学界的支配人物。格罗腾迪克的家世背景或童年时期的细节，许多都还未知，已知的部分也很粗略。德国明斯特大学的萨尔劳（Winfried Scharlau）正在撰写格罗腾迪克的传记，并且已经仔细研究过格罗腾迪克这段时期的经历。底下格罗腾迪克生平的许多资讯，都来自我与萨尔劳的访谈，以及他为了撰写这本传记所搜集的资料[Sch]。

格罗腾迪克父亲的姓名可能是亚历山大‧沙比罗（Alexander Shapiro），1889 年 10 月 11 日，出生于乌克兰诺弗兹博克夫（Novozybkov）的一个犹太家庭。他是一位无政府主义者，曾经参与二十世纪初沙皇时期的许多起义事件。十七岁被捕后，他设法躲过死刑，却又多次的逃逸和被捕，最后总共在狱中待了约十年。由于同名同姓，格罗腾迪克的父亲经常被误认为是这些事件中，另一个更知名的激进份子。里德（John Reed）的《震撼世界的十天》曾经描写后者的事迹，他最后移居纽约，死于 1946 年，当时格罗腾迪克的父亲已经死了四年。另一桩值得注意的事情是，格罗腾迪克的父亲是一个独臂人。曾于 1970 年代与格罗腾迪克同居并生下一子的班碧（Justine Bumby）说，格罗腾迪克的父亲为了逃避警察追捕，在试图自杀时失去这条手臂。或许格罗腾迪克自己也无意之间让有两位沙比罗的事实更加混淆，举例来说，IHÉS 的卡迪耶（Pierre Cartier）曾在[cartier2]中提到，格罗腾迪克坚持里德书里有一个角色是他的父亲。

格罗腾迪克的父亲沙比罗，1922 年

1921 年，沙比罗离开俄罗斯，终生没有任何国籍。为了隐藏他的政治过往，他取得一份名为亚历山大‧塔纳洛夫（Alexander Tanaroff）的身份证明，余生都以此为名。他曾经待过法国、德国、比利时，并且和无政府主义者以及其他革命团体常有过往。1920 年代中期，他在柏林的激进份子圈认识了格罗腾迪克的母亲——韩卡（Johanna（Hanka） Grothendieck）。韩卡 1900 年 8 月 21 日出生于汉堡，家中是路德教派的中产家庭。为了反抗传统的教养，她前往当时前卫文化与革命社会运动温床的柏林。韩卡和沙比罗都想成为作家，沙比罗终生未发表只字片语，不过韩卡倒是写过一些报纸的文章，尤其在 1920 到 1922 年间，她曾为一份名为《刑枷》（Der Pranger）的左翼周报写稿，那是为在汉堡社会边缘生存的娼妓阶层伸张权益的报纸。更久之后，韩卡在 1940 年代晚期写过一本自传体的小说《一个女人》（Eine Frau），但从未出版。

格罗腾迪克的母亲韩卡，1917 年

沙比罗大半生都是一位街头摄影师，这份工作让他可以自立更生，避免陷入有违他无政府信仰的雇佣关系。他和韩卡都结过婚，各有一个前婚小孩，她的是女儿，他的则是儿子。格罗腾迪克在 1928 年 3 月 28 日生于柏林，家中除了他的父母，还有韩卡前次婚姻的女儿麦蒂（Maidi），她大格罗腾迪克四岁。家人以及格罗腾迪克后来的亲近朋友都称他为舒利克（Schrik），他父亲的小名则是沙夏（Sascha）。虽然格罗腾迪克从未见过他的异母哥哥，但他将自己 1980 年代的手稿《寻堆》（A La Poursuite des Champs）献给哥哥。

1933 年纳粹掌权后，沙比罗从柏林逃亡到巴黎，该年十二月，韩卡决定跟随丈夫，因此将儿子托付给汉堡附近布兰肯奈西（Blankenese）的一个寄养家庭，女儿麦蒂则留在一个照顾残障儿童的机构，虽然麦蒂并非残障（《 收割与播种》 pp.427-473）。寄养家庭的家长名叫亥东（Whihelm Heydorn），其精彩一生可以从他的传记《我只是一个人》（Nur Mensch Sein!）[Heydorn]上看出来。书中有一张格罗腾迪克 1934 年时的照片，而且简短的提到他。亥东曾经是路德教派的牧师，也当过军官。他后来离开教职，转任小学老师与Heilpraktiker（在今天可大略译成另类疗法治疗师）。1930 年，亥东建立一个具有理想色彩的政党——“人性党”（Menschheitspartei），被纳粹视为非法政党。亥东自己有四个小孩，而且在这个日后导致二次大战的混乱时期里，他和太太达格玛（Dagmar）依循基督教的理念，还另外收容了好几位被迫和家人分开的寄养小孩。

童年的格罗腾迪克

格罗腾迪克从五岁到 11 岁，在亥东家待了五年，而且还上过学。在达格玛的回忆录中，提到小格罗腾迪克的个性十分随性、绝对诚实，但缺乏自制。在这段时期，格罗腾迪克很少收到母亲的来信，父亲更无只字片语。虽然韩卡在汉堡还有亲戚，但是从来没有人探访过她的儿子。格罗腾迪克在《收割与播种》（p.473）中提到，和父母的遽然分离造成他莫大的创伤。萨尔劳怀疑小格罗腾迪克在亥东家里过得并不快乐，由于他从小生长在无政府主义家长建立的自由家庭，亥东家比较严格的气氛也许会造成双方的摩擦。事实上，格罗腾迪克和亥东家附近的几个家庭反而比较亲近，即使成年之后，他还长年与他们通信。格罗腾迪克也曾给亥东家写过信，并曾经造访汉堡数次，最近的一次是在 1980 年代中期。

1939 年的战争迫在眉睫，亥东家受到的政治压力愈来愈大，他们无法再收容寄养小孩。格罗腾迪克的情形更麻烦，因为他长得就像犹太人。当时他父母的确切地址不详，但达格玛写信给汉堡的法国领事馆，设法将消息传达给在巴黎的沙比罗，以及在尼姆（Nîmes）的韩卡。一旦联络上后，11 岁的格罗腾迪克立刻被送上从汉堡开往巴黎的火车。他在 1939 年五月他和父母重聚，在战争之前共度了一段很短的时光。

我们并不很清楚格罗腾迪克留在汉堡的期间，他父母的工作是什么。不过他们在政治上仍然很活跃，曾经一起到西班牙参与西班牙内战，并在佛朗哥获胜后，随众人一起逃回法国。由于他们的政治活动，韩卡和她先生在法国被视为危险的外国人。格罗腾迪克和他的父母重聚后不久，沙比罗就被送到勒凡内（Le Vernet）的集中营，这是当时法国情况最粗劣的集中营，他可能从此就没再见过妻儿。1942 年八月，沙比罗被法国当局递解到奥斯威辛（Auschwitz）集中营，并在该地遇害。至于格罗腾迪克的姊姊麦蒂在这段时间的情况不明，不过她最后嫁给一位美国军人，移民美国，几年前才过世。

1940 年，韩卡和儿子被送入曼德（Mende）附近的里奥克罗（Lieucros）集中营，就集中营而言，这里算是情况比较好的，他们允许格罗腾迪克到曼德上中学。尽管如此，这仍然是一段精神被剥夺又不确定的岁月。格罗腾迪克曾经告诉班碧，他和母亲有时会受到法国人的漠然回避，他们不知道韩卡也反纳粹。格罗腾迪克曾经逃离集中营，想要刺杀希特勒，不过很快就被抓回去。班碧说：“这很可能要了他的命。”格罗腾迪克身强体壮，也是一名拳击好手，在这段时遭欺凌的时光里非常有用。

两年后，这对母子被迫分离。韩卡被送到另一个集中营，她的儿子最后流落到法国的尚邦（Le Chambon-sur-Lignon）。当地的新教牧师楚洛克密（André Trocmé）将这个山区度假小镇，变成抵抗纳粹的顽强据点，成为保护犹太人与其他战乱受害者的避风港[Hallie]。格罗腾迪克住在当地一个瑞士机构支持的儿童之家，他就读于当地教育年轻人的赛佛诺（Cévenol）中学，并且通过法国高中会考（baccalauréat）。虽然尚邦人的英雄行径保障了流亡者的安全，但是当时的生活仍然不很稳定。在《收割与播种》中，格罗腾迪克提到由于当局定期搜捕犹太人，他和同学常要疏散到森林中躲几天。

格罗腾迪克也谈过他在曼德和尚邦的学校生活。尽管他的年轻岁月颠沛流离，生活困顿，格罗腾迪克显然从小就有强烈的内在方向感。在数学课中他从不依赖老师，学会自行分辨深浅与对错。他觉得课本中的习题太多重复，呈现的方式又孤立于其真正的意义。格罗腾迪克写道：“这是书本的问题，不是我的问题”。不过一旦有个问题攫取他的注意，他还是会完全投入，废寝忘食。（《收割与播种》 p.3）

从蒙贝里耶、巴黎到南锡

舒拉先生[我的微积分老师]确定的告诉我，二十或三十年之前，数学最后的问题已经被某个叫勒贝格（Lebesgue）的人给解决了。他发展了一门测度与积分的理论（多么有趣的巧合），为数学划下了句点。 ──《收割与播种》 p.4

1945 年五月，欧洲的战事结束了，当时格罗腾迪克 17 岁。他和母亲搬到麦沙革（Maisargues），这是蒙贝里耶（Montpellier）城外产酒区的一处小村庄。格罗腾迪克进入蒙贝里耶大学就读，两人靠着大学奖学金以及葡萄丰收期的季节零工来维生，韩卡也有一份打扫的工作。格罗腾迪克上课的时间愈来愈短，因为他发现老师总是照本宣科，重复教科书上的说法。根据丢东涅（Jean Dieudonné）的说法，当时的蒙贝里耶“在数学教学上，是法国最落后的大学之一。”[D1]

在这个沉闷的环境里，格罗腾迪克三年的蒙贝里耶大学生活，都花在填补高中教科书的缺陷上，想要补足长度、面积、体积的恰当定义。基本上，他一个人重建了整个测度论与勒贝格积分的概念。这段故事是格罗腾迪克和爱因斯坦的众多相似处之一。爱因斯坦年轻时，也曾自行发展统计物理的概念，后来他才知道吉布斯（Josiah Gibbs）已经先发现了。

1948 年，格罗腾迪克拿到蒙贝里耶大学的理学士学位，随后前往法国数学的中心——巴黎。1995 年，在一篇谈论格罗腾迪克的法国杂志文章中[Ikonicoff]，一位名为马尼（Andre Magnier）的法国教育官员回忆，当时格罗腾迪克申请前往巴黎的奖学金的情形。马尼要求格罗腾迪克描述他在蒙贝里耶的研究课题。杂志引述马尼的话说：“我十分震惊。结果本来二十分钟的会面，他用了两个钟头，不停跟我说明他如何用‘手边仅有的工具’，重建别人花几十年发展的理论，他展现了非凡的聪慧。”马尼补充说：“格罗腾迪克除了给人卓越青年的印象外，也显露出因为受苦与匮乏而较不平衡的一面。”马尼随即推荐格罗腾迪克取得奖学金。

格罗腾迪克的微积分老师舒拉（Soula）推荐格罗腾迪克前往巴黎，并和他的老师卡当联络。至于这位“卡当”，是当时年近八十的埃里‧卡当（Élie Cartan），还是他四十几岁的儿子昂利‧卡当（Henri Cartan），格罗腾迪克并不清楚（《收割与播种》 p.19）。当他 1948 年秋天到达巴黎后，格罗腾迪克向数学家解释他在蒙贝里耶的研究。正如舒拉已经告诉他的，这些都是已知的结果，但是格罗腾迪克并不失望。事实上这段年轻孤立的努力经验，对他成为数学家似乎颇为关键。在《收割与播种》中，格罗腾迪克谈起这段期间说：“不知不觉的，我从孤独中已经学习到成为数学家的根本要素，这不是任何老师可以教出来的。没有人告诉我，但我就是‘全心’知道自己是数学家，是‘做’数学的人，就和‘做’爱的‘做’意义十足相当。”（《收割与播种》 p.5）

格罗腾迪克开始参加昂利‧卡当在法国高等师范学院的著名讨论班。这个讨论班承袭了一种格罗腾迪克日后也将衷心奉行的模式，参与者在全年课程中检视一个主题，然后再将课程内容有系统的整理出版。1948-1949 年的主题是单体（simplicial）代数拓扑和层论（sheaf theory），这是当时最前沿的课题，在法国还没有其他地方可以学习到[D1]。事实上，当时离勒黑（Jean Leray）建立层的概念还没多久。在卡当讨论班，格罗腾迪克首次认识了许多当代最杰出的数学家，包括薛瓦雷（Claude Chevalley）、德沙特（Jean Delsarte）、丢东涅、古德蒙（Roger Godement）、史瓦茨（Laurent Schwartz）、韦伊（André Weil），其中也包括了卡当的学生塞尔（Jean-Pierre Serre）。另外，除了卡当讨论班，格罗腾迪克还上了勒黑在法兰西学院开的课程，内容是当时很新颖的局部凸空间（locally convex space）。

昂利‧卡当既是几何学家埃里‧卡当的儿子，本身又是杰出的数学家，再加上身任高等师范学院的教授，他无疑是巴黎菁英数学家圈的中心人物。昂利‧卡当也是战后愿意向德国同僚伸出友谊之手的少数法国数学家，尽管他对战争的恐怖其实有着切身之痛，因为他参与抵抗运动的弟弟，被纳粹逮捕斩首。昂利‧卡当和当时的许多顶尖数学家享有共同的背景，就像厄瑞斯曼、勒黑、薛瓦雷、德沙特、丢东涅、韦伊一样，都是“师范人”，他们都毕业于法国高等师范学院，这是法国高等教育中声望最高的学府。

在卡当讨论班中，格罗腾迪克就像是一个局外人。他说德语却住在战后的法国，而且他贫乏的教育背景和这群人形成尖锐的对比。不过在《收割与播种》中，格罗腾迪克说，他在这种环境中并没有感觉像陌生人，并对他获得的“善意欢迎”充满温暖的回忆（pp.19-20）。他直言无讳的个性很引人侧目，在塞夫（Jean Cerf）为卡当百年大寿写的纪念文章中，他回忆当时的卡当讨论班里，“有一个陌生人（就是格罗腾迪克）从教室后方和卡当自由交谈，就像是同辈一样。”[Cerf] 格罗腾迪克写说他可以任意发问，但也发觉自己必须辛苦学习的东西，旁人却好像瞬间就能掌握运用，“好像他们在摇篮中就已经知道了似的。”（《收割与播种》，p.6）可能部分出自这个原因，在卡当和韦伊的忠告下，格罗腾迪克 1949 年 10 月离开了巴黎的菁英圈，前往步调比较缓慢的南锡（Nancy）。另外，根据丢东涅的说法，格罗腾迪克当时对拓扑向量空间的兴趣多过代数几何，因此前往南锡是再自然不过了。[D1]

南锡的学徒生涯

⋯⋯关爱之情到处洋溢着⋯⋯1949 年在南锡，当我第一刻踏入洛宏（Laurent）与海伦（Hélène）的史瓦茨家时，我就感受到这份关爱（就像他们的家人一样），还有丢东涅家，还有古德蒙家（那也是我当时经常逗留的地方）。当我第一步踏入数学世界时，围绕着我的这些关心温暖，虽然我时而想忘却，对我的数学家生涯却很重要。 ──《 收割与播种》 p.42

1940 年代晚期，南锡是法国最优秀的数学中心之一。事实上，虚构数学家“布巴基”（Nicolas Bourbaki）据说出身于“南加哥”（Nancago）大学，这个名称的组合，一方面表示韦伊的芝加哥（Chicago）时期，同时也对应到布巴基其他成员所在的南锡大学。这些南锡的教授包括了德沙特、古德蒙、丢东涅与史瓦茨，格罗腾迪克的南锡同学则有里翁（Jacques-Louis Lions）和马卢格宏日（Bernard Malgrange），他们和格罗腾迪克一样都是史瓦茨的学生。另外还有 22 岁来自巴西的黎宾波因（Paulo Ribenboim），他和格罗腾迪克几乎同时到达南锡。

黎宾波因现在是加拿大安大略女王大学的退休教授，根据他的说法，当时南锡的研究步调不像巴黎那么激昂，教授也可以有更多时间和学生相处。黎宾波因说他的印象中，格罗腾迪克是因为缺乏背景，无法跟上要求甚高的卡当讨论班，才来到南锡。这并不是格罗腾迪克自己说的，黎宾波因评论：“他不是会承认自己不懂的家伙！” 不过，格罗腾迪克卓越的天分十分明显，黎宾波因记得自己把他当作理想的典范。虽然格罗腾迪克的情绪可能非常激切，言行有时更是粗鲁。黎宾波因回忆说：“但他不是苛刻，而是对自己和他人都要求甚高。”格罗腾迪克身边几乎没有书，比起透过阅读学习，他宁愿自己把理论重建起来。同时，格罗腾迪克工作十分勤奋，黎宾波因记得史瓦茨有次告诉他，你看起来像是善良又平衡的年轻人，你应该跟格罗腾迪克交交朋友，试着不要让他只知道用功。

当时丢东涅和史瓦茨在南锡主持拓扑向量空间的讨论班。丢东涅在[D1]里解释说，当时巴拿赫空间（Banach space）与其对偶空间的理论已经很清楚，但是局部凸空间则是一个新概念，关于其对偶性的一般理论还付之阙如。丢东涅和史瓦茨在这个领域的研究上，遇到一系列的问题，他们决定把这些难题转交给格罗腾迪克。结果让他们大吃一惊，因为几个月之后，格罗腾迪克就将所有问题都解决了，还有余裕去继续研究其他泛函分析的问题。丢东涅写着：“1953 年，到了要授予他博士学位的时候，我们必须从他的六篇论文中选择一篇，他的每篇文章都足以当做一篇好博士论文。”结果被选出来的博士论文是《拓扑张量积与核空间》（Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires），这篇论文首次显示了格罗腾迪克一般性思考的迹象，这是他全部作品的特征。核空间的概念首次出现在这篇论文中，日后有着广泛的应用。1954年，史瓦茨在巴黎一次名为“格罗腾迪克张量积”（Les produits tensoriels d' après Grothendieck）的讨论班中介绍了格罗腾迪克的新结果[Schwartz]。至于格罗腾迪克的论文，则于 1955 年在美国数学学会的《纪要丛书》（Memoirs）出版，到了 1990 年，已经重印了七次。[Gthesis]

格罗腾迪克的泛函分析研究“真的非常杰出。”美国加州大学洛杉矶分校的艾夫罗斯（Edward Effros）说：“他也许是第一位意识到，二次大战后才茁壮的代数/范畴方法，可以运用到这个非常解析性的泛函分支的人。”格罗腾迪克在某种意义上是领先于他的时代。艾夫罗斯特别指出，主流巴拿赫空间理论花了至少 15 年的时间，才充分吸收格罗腾迪克的研究内容，部分原因是大家对他较为代数的观点有所迟疑。不过艾夫罗斯说，格罗腾迪克的影响在近年来开始发酵，这是因为格罗腾迪克的范畴论观点非常适合讨论巴拿赫空间的“量子化”。

虽然格罗腾迪克的数学研究蓄势待发，前景颇为看好，但他的私人生活并不安定。在南锡，他和母亲住在一起，黎宾波因记得她常常因为结核病发而卧病在床，这是她在集中营时感染的疾病。大约就是在这个时候，格罗腾迪克的母亲正撰写她的自传性小说《一个女人》。格罗腾迪克与母亲租住公寓的房东是一个年纪比他稍长的女人，两人发生关系，并生下格罗腾迪克的第一个小孩，这个男孩名叫瑟吉（Serge），大半都由母亲抚养。即使格罗腾迪克已经拿到博士学位，他想找到终身职的希望仍然很渺茫，因为格罗腾迪克没有任何国籍，在当时的法国，非公民想找到终身职十分困难。但想取得法国国籍，又必须服兵役，这是格罗腾迪克绝对排斥的事情。1950 年后，格罗腾迪克透过法国国家科学研究中心（CNRS）找到一份工作，不过这个工作比较像是奖助金，而不是终身职。有段时间，格罗腾迪克甚至还考虑学习木工来赚钱。（《收割与播种》 p.1246 注）

1952 年，史瓦茨访问巴西，告诉当地人他有一位聪颖的年轻学生，在法国找不到工作。于是巴西圣保罗大学提供格罗腾迪克访问教授职，格罗腾迪克在 1953 到 1954 年间赴任。美国罗格斯大学的退休教授巴洛斯奈托（José Barros-Neto），当时在圣保罗大学还是学生，根据他的说法，格罗腾迪克当时还做了特别的安排，好让他在秋季可以回到巴黎参加讨论班。巴西数学社群的第二外国语是法语，因此格罗腾迪克教书以及和同事交谈都没有问题。格罗腾迪克的圣保罗之行，其实是法国和巴西科学合作传统的一环。除了史瓦茨之外，韦伊、丢东涅，以及德沙特都曾经在 1940 年代或 1950 年代访问巴西。例如韦伊曾经在 1945 年一月访问圣保罗，直到 1947 年秋季才离开，前往芝加哥大学。法国和巴西的数学联结直到今天仍然持续。里约热内卢的巴西纯粹与应用数学院（IMPA）有一份法巴合作协议，让许多法国数学家可以到该院访问。

在《收割与播种》中，格罗腾迪克将 1954 年称“疲累的一年”（p.163）。他一整年都没办法在拓扑向量空间的逼近问题上取得任何进展，这个问题要在大约二十年后才被解决，而且方法和格罗腾迪克试图采取的办法不一样。格罗腾迪克写道，这是“我一生中，研究数学变得如此沉重的唯一时刻。”他从这个挫折学到一个教训，“别将鸡蛋摆在一个篮子里。”在脑袋中要多放几个数学问题，如果有个问题冥顽不灵，还有别的问题可以做。

圣保罗大学的教授宏尼戈（Chaim Honig）在格罗腾迪克来访时，还是数学系的研究助理，他们后来成为好友。宏尼戈说格罗腾迪克过的几乎是斯巴达式的孤独生活，仅靠牛奶和香蕉为食，整天浸淫在数学之中。宏尼戈曾经问格罗腾迪克为什么要做数学，格罗腾迪克回答说，自己特别热爱的是数学和钢琴，他选择数学是因为他以为这样谋生比较容易。由于格罗腾迪克的数学天赋极为明显，宏尼戈说：“知道他曾经在数学和音乐间迟疑过，我还真是吃了一惊。”格罗腾迪克本来计划与当时在里约热内卢的纳区宾（Leopoldo Nachbin）合写一本拓扑向量空间的书，这个计划后来胎死腹中。不过，格罗腾迪克在圣保罗大学曾经教过拓扑向量空间，并且后来写成讲义，由圣保罗大学出版。巴洛斯奈托当时是课上的学生，他为这个讲义写了介绍的章节，并补充了一些基本的先备知识。巴洛斯奈托记得格罗腾迪克在巴西时，就已经考虑要转换领域，他说格罗腾迪克“非常非常有野心，你可以感受到他强烈的决心，他要做的是基础的、重要的、根本的研究。”

明星崛起

最重要的是，书页上那些无疑让我不痛不痒的叙述，塞尔却每次都能够强烈感受到它背后的丰饶意义，而且他还能“传递”出对这一丰富、明确又神祕的实体的感受，让这份感受激起你想要理解、穿透这个实体的欲望。 ——《收割与播种》 p.556

任职于法国格赫诺布尔大学的马卢格宏日回忆说，当格罗腾迪克写完毕业论文后，他就断言格罗腾迪克将不再对拓扑向量空间感兴趣。马卢格宏日说：“他告诉我再没有什么可以做，这个主题已经死了。”在当时，博士生还得准备不必有原创观点，但必须和主论文无涉的“第二论文”，藉以展现学生对另一个数学领域的理解深度。格罗腾迪克的第二论文主题是层论，这份研究埋下了他对代数几何感兴趣的种子，日后成为他最伟大的研究领域。格罗腾迪克的博士论文口试地点在巴黎，马卢格宏日还记得口试后，他和格罗腾迪克、昂利‧卡当一起搭计程车到史瓦茨家吃饭。他们之所以搭计程车，是因为马卢格宏日滑雪时把腿摔断了。马卢格宏日回忆说：“在车上，卡当向格罗腾迪克说明，他有些层论的东西说错了。”

离开巴西后，1955 年格罗腾迪克待在美国堪萨斯大学，这也许是出自阿隆沙因（Nachman Aronszajn）的邀请[Corr]。在堪萨斯，格罗腾迪克沉迷于同调代数的研究，在那里他写下了日后被专家私下昵称为“东北论文”的《关于同调代数的几个问题》（Sur quelques points d' algèbre homologique），这是因为该论文发表于日本的《东北数学杂志》[To]。这篇论文是同调代数的经典之作，扩展了昂利‧卡当和艾林伯格的模（module）观点。此外，格罗腾迪克在堪萨斯时还写下《具结构层的纤维空间的一般理论》（A general theory of fiber spaces with structure sheaf），这是给美国国科会的报告。在这篇报告里，格罗腾迪克发展了他非交换上同调理论的初步概念，日后他将在代数几何的脉络下再回到这个主题。

就在这段期间，格罗腾迪克开始与法兰西学院的塞尔通信，他在巴黎时曾经见过塞尔，后来又在南锡碰面。他们部分信件的结集在 2001 年以原来的法文出版，2003 年又出了英法对照的版本[Corr]。这是一段长久又丰饶的互动的开端，这些信函显示出这两位十分不同的数学家，有着深厚又充满活力的联系。格罗腾迪克具有绝尘逸世的想像力，而塞尔总是能以他犀利的理解力与广博的知识，将格罗腾迪克拉回到现实世界来。在信件中，有时格罗腾迪克会显露出惊人的无知，例如他曾经问过塞尔，黎曼 ζ 函数是否有无穷多个零根（[Corr], p.204）。塞尔回忆：“他对古典代数几何的知识基本上等于零，我稍微多知道一些，但也不很多，我能帮就帮。不过⋯⋯反正未解的问题那么多，其实也没有关系。”格罗腾迪克不是持续留意最新文献的人，大部分时候他都得依赖塞尔告诉他最新的进展。在《收割与播种》中格罗腾迪克写道，除了他自学的部分，他绝大部分的几何知识，都是从塞尔那儿学到的（pp.555-556）。不过塞尔并不是单纯教格罗腾迪克新知，而是先充分消化新的概念后，再以特别能让格罗腾迪克信服的方式进行讨论。格罗腾迪克称塞尔是一枚“雷管”，提供的火花足以点燃引线，引爆出各式各样的概念。

事实上，格罗腾迪克将他研究的许多中心主题上溯到塞尔的影响。例如在 1955 年左右，塞尔从上同调理论的脉络向格罗腾迪克描述韦伊猜想。这在韦伊本来的猜想表述中，只是隐藏的脉络而已，但这样的说法却能诱使格罗腾迪克上钩（《收割与播种》 p.840）。另外，透过塞尔对韦伊猜想的“凯勒”（Kählerian）类比，也启发格罗腾迪克提出所谓的“标准猜想”（Standard Conjecture），这是一个更广泛的猜想，而韦伊猜想则是它的推论。（《收割与播种》 p.210）

1956 年，格罗腾迪克从堪萨斯回到法国，他获得法国国家科学研究中心的职位，大部分时间都留在巴黎。他和塞尔继续通信，也定期和他通电话。这是格罗腾迪克更深入研究拓扑与代数几何的时候，伯瑞尔回忆说：“格罗腾迪克的灵思源源不绝，我很确定他一定会做出第一流的工作，但是最后呈现的成果还是远超过我的期待。那就是他自己的黎曼/罗赫定理（Riemann-Roch Theorem），这是一个绝妙的定理，数学的大师之作。”

黎曼/罗赫定理的古典形式完成于 19 世纪中叶。如果在紧致黎曼面上给定有限个点，考虑以这些点为极点（pole）且不超出指定阶数的半纯（meromorphic）函数所成的空间，这个定理想讨论的是这个空间的维度，答案就是黎曼/罗赫公式，其中此维度可以用黎曼面的不变量来表示，于是建立了曲面的分析性质与拓扑性质的深刻连结。1953 年，德国数学家贺茨布鲁赫（Friedrich Hirzebruch）更往前踏出一大步，将黎曼/罗赫定理从黎曼面推广到高维复数射影非奇解形（projective nonsingular varieties）【译注：variety 旧译为“曲体”、大陆译为“簇”，现译为“解形”，取其为多项式之解所构成的形体】的情况。数学界为这个精心力作兴奋不已，因为这个结果似乎是这个课题的最终解答。

普林斯顿大学的卡兹（Nicholas Katz）说：“结果格罗腾迪克走过来说，‘不，黎曼/罗赫定理不是代数解形的定理，而是关于两解形之间映射的定理。’这是一个崭新的根本观点⋯⋯定理的叙述方式整个改变了。”当时范畴论（category theory）的基本哲学——该研究的是对象之间的箭头，而不是对象本身——正方兴未艾。伯瑞尔说：“重点是[格罗腾迪克]把这个哲学，应用到十分困难的数学领域。它的确具有范畴和函子（functor）的精神，但从来没有人想过可以在这么困难的课题上运用它⋯⋯。如果有人目睹过这种叙述方式并且能理解，那么或许还有别人也可以证明出来，问题是这种叙述本身，已经超前其他人十年之久。”

格罗腾迪克与阿提雅

1959 年瓦许尼泽（Gerard Washnitzer）也独立证明出这个定理[Washnitzer]，它还可以推广到任何基本域的真光滑代数解形。而贺茨布鲁赫/黎曼/罗赫定理则变成这个定理的特殊情况。黎曼/罗赫定理另一个深远的推广出现于 1963 年，乃是由阿提雅（Michael Atiyah）和辛格（Isadore Singer）证明的阿提雅/辛格指标定理。在格罗腾迪克的证明过程里，他引入现在称为格罗腾迪克群的概念，本质上提供了一种新拓扑不变量。格罗腾迪克自己称这个群为 K 群，成为促进阿提雅和贺茨布鲁赫发展拓扑 K 理论的起点。然后，拓扑 K 理论又启发了代数 K 理论的观点，此后这两个领域都蓬勃发展至今。

当时贺茨布鲁赫在德国波昂大学启动了所谓的 Arbeitstagung（字面上就是“工作会议”的意思），四十余年来都是数学前沿研究的论坛。1957 年七月第一次的论坛，就是由格罗腾迪克讲演他的黎曼/罗赫研究。不过由于某个令人好奇的转折缘由，这个结果最后并不是用他的名字发表，而是出现在塞尔与伯瑞尔的论文中[BS]（证明后来也出现在 1966-1967 年的《代数几何论丛》（Séminaire de Géometrie Algébrique du Bois Marie，简称 SGA）的第六册中） 。1957 年秋季，当塞尔访问美国高等研究院时，收到格罗腾迪克一封概述其证明的信（1957 年十一月一日信函[Corr]），于是塞尔和伯瑞尔组织了一个理解这个证明的讨论班。由于格罗腾迪克忙于许多事务，他建议这些朋友们撰写并出版讨论班的纪录。不过伯瑞尔猜测，格罗腾迪克不想自己写下结果还有别的原因，“格罗腾迪克的主要哲学思想是，数学应该要拆解成一步步自然的小步骤，做不到这一点，就表示其中还有你不了解的地方⋯⋯但是他证明黎曼/罗赫定理时，用到一个取巧的方法（une astuce）。所以他自己不满意，不想发表⋯⋯他还有很多别的事情要处理，所以没兴趣写下这个技巧。”

1961年 Arbeitstagung 中的一个晚上，格罗腾迪克在贺茨布鲁赫家中

此后，格罗腾迪克持续为不同的数学主题提出革命性的观点。卡兹说：“这样的情形不断发生。当他遇到某个别人深思过的问题，包括某些上百年的问题⋯⋯他会完全转变别人原先所认定的主要题旨。”格罗腾迪克不仅要解决悬宕未解的问题，他还重构了别人所提出的问题。

开启新世界

我终于理解到“我们──这些宏伟又高贵的灵魂”，这一意识型态某种特别极端又狠戾的形式，从我母亲幼年起，就狂烈的充塞着她的心灵，宰制了她对别人的关系。我母亲喜欢以悲悯的态度，从自己的高度俯视他人，经常带着轻蔑，甚至鄙视。 ──《收割与播种》 p.30

根据宏尼戈的回忆，格罗腾迪克的母亲至少有一段时间和他同住在巴西，尽管宏尼戈说自己并没有见过她。至于她是否曾和格罗腾迪克同住在堪萨斯则不很清楚。当格罗腾迪克 1965 年回到法国时，他们可能已经没有继续住在一起。1957 年十一月，在一封从巴黎写给塞尔的信里，格罗腾迪克提到他是否可以租下塞尔正准备搬出的巴黎公寓。格罗腾迪克解释说：“我对房子感兴趣是为了我母亲，她在白鸽林（Bois-Colombes）住得并不愉快，她非常孤立。”[Corr]。事实上，格罗腾迪克的母亲在该年年底就过世了。

格罗腾迪克的朋友和同事都说，当他谈到父母时总是充满赞扬，几乎到了阿谀的程度。在《收割与播种》中，格罗腾迪克对父母也表露出深厚而根本的爱。多年以来，格罗腾迪克在研究室里，总挂着一幅令人印象深刻的父亲肖像，这是与他父亲同时被拘留在勒凡内集中营的友人画的。按卡迪耶的描述，画中的男人剃着大光头，眼中闪烁着“热切的神情”[Cartier1]。格罗腾迪克自己也长期理着光头。另外根据黎宾波因的说法，韩卡对她聪颖的小孩非常骄傲，而格罗腾迪克也回报以非常浓厚的孺慕之情。

格罗腾迪克与妻子米荷莉和儿子马修，1965 年 5 月，巴黎

在母亲死后，格罗腾迪克经历了一段心灵反思的历程，停止了所有的数学活动，而且还考虑成为作家。几个月之后，他决定重返数学，完成他已经开始发展的一些想法。当时是 1958 年，依格罗腾迪克的说法，这“可能是我数学生涯里收获最丰盛的一年。”（《收割与播种》 p.24）在这段期间，他和一位名叫米荷莉（Mireille）的女人同居，并在几年后和她结婚，生下三个小孩，乔安娜（Johanna）、马修（Mathieu）和亚历山德（Alexandre）。米荷莉和格罗腾迪克的母亲很亲近，而且根据好几位认识他们的人士，米荷莉的年纪比格罗腾迪克年长很多。

格罗腾迪克与泰特太太凯琳，1964 年，巴黎

哈佛大学退休教授泰特（John Tate）与他当时的太太凯琳（Karin Tate），在 1957-1958 年期间在巴黎访问，初次和格罗腾迪克见面。格罗腾迪克完全没有显示他描述母亲所具有的傲慢。“他真的很友善，同时很天真，很孩子气。许多数学家像小孩子，多少都不懂世事，但格罗腾迪克却是箇中之尤。”泰特回忆说：“格罗腾迪克看起来很单纯，不晓世故，不矫情，也不虚假。他的思虑清澈，解释事情很有耐性，看不出任何优越感。他没有受到文明、权力、争胜之见的污染。”凯琳记得格罗腾迪克很有欢乐娱人的能力，很吸引人，喜欢笑。但是有时情绪会太过激动，因为他看待事情非黑即白，没有灰色地带。而且格罗腾迪克很诚实，她说：“和他在一起，你总是能安心自处。他从不伪装，人很直接。”凯琳和她的弟弟麻省理工学院的迈克尔‧阿廷（Michael Artin），都看出格罗腾迪克的性格和他们父亲艾米尔‧阿廷（Emil Artin）颇有相似之处。

凯琳记得格罗腾迪克有“令人难以置信的理想主义倾向”。例如，格罗腾迪克的屋里从不摆地毯，因为他认为地毯只是装饰用的奢侈品。她也记得格罗腾迪克脚上穿着轮胎皮製的凉鞋，“他觉得这非常棒，这双鞋子是他所敬重事物的象征——充分利用手边之物。”但因为格罗腾迪克的理想主义，有时他也十分昧于现实。在 1958 年格罗腾迪克和米荷莉首次访问哈佛大学之前，他给她一本自己最喜欢的英文小说，好改进她自己贫乏的英文知识。这本小说竟然是《白鲸记》（Moby Dick）。

新几何学的诞生

以三十年后的后见之明，随着两项几何学重要工具的出现，我现在可以说[1958 年]是新几何学观点真正诞生的一年。一是概形（这是旧概念“代数解形”的变形），另一是拓扑范（这是空间概念更深刻的变形）。 ——《收割与播种》 p.23

1958 年八月，格罗腾迪克在英国艾丁堡国际数学家大会（ICM）中给大会演讲[Edin]。这个演讲以卓越的预见，描述了许多他接下来 12 年的研究主题。很显然，他当时的目标是要证明韦伊所提出的知名猜想，这个猜想暗示了代数解形的离散世界与拓扑的连续世界之间，有着更深刻的统一性。

在那个时代，代数几何正经历快速的演变，许多未解的问题并不需要大量的背景知识。最开始，大家研究的对象是复数解形。二十世纪初期，这个领域的专家是意大利数学家，如卡斯特努沃（Guido Castelnuovo）、恩利奎斯（Federigo Enriques）与赛韦利（Francesco Severi）。虽然他们发展了许多极具巧思的想法，但其中许多论点还缺乏严格的证明。而在 1930 与 1940 年代，其他数学家如范德瓦尔登（Bartel L. van der Waerden）、韦伊、查利斯基（Oscar Zariski）则想研究任意体的代数解形，尤其是对数论很重要的特征 p 体代数解形。不过由于义大利学派的代数几何论述不够严格，因此数学家必须为这个领域建立新基础，这就是韦伊在 1946 年的《代数几何之基础》（Foundations of Algebraic Geometry）[Weil1]书中所达成的。

韦伊的猜想出现于他 1949 年的论文[Weil2]。基于来自数论的动机，韦伊研究一类艾米尔‧阿廷在特殊情况已经讨论过的 ζ 函数，之所以称为 ζ 函数是因为它的定义类似黎曼 ζ 函数。给定一在特征 p 有限体上定义之代数解形 V ，我们可以计算 V 上此体以及其有限体扩张之有理点数目，将这些数目合写入一生成函数，就是 V 的 ζ 函数。韦伊证明在曲线或一般阿贝尔解形（abelian variety）的情况时，此 ζ 函数满足三个性质：它是有理函数；它满足一泛函方程；其零点与极点具备特殊的形式，一旦引入恰当的变数变换，这个形式将对应到黎曼假说。而且韦伊还观察到，如果 V 是由一特征 0 代数解形 W 所同余 p 而得，则我们可以由 V 的 ζ 函数（表成有理函数）读出 W 的贝堤数（Betti number）。而韦伊猜想就是问上述事实是不是对一般射影非奇异代数解形都正确，尤其贝堤数是不是真的都潜藏在 ζ 函数中。这个猜想连结了代数几何和拓扑，暗示当时正在拓扑空间发展的新工具如上同调理论，也许可以修改并应用到代数解形的情况。更因为和古典黎曼假说类似，韦伊猜想的第三部分有时被称为“同余黎曼假说”，这是韦伊猜想中最难证明的部分。

卡兹说：“当[韦伊]猜想一出现，大家就很清楚它一定会扮演某种核心角色，一方面这些‘黑箱式’的叙述让人难以置信，另一方面，想要解决这个问题，看来显然需要发展出全新的工具，而且这项工具本身将具有惊人的价值。最后果然完全正确。”目前在高等研究院的德利涅（Pierre Deligne）说，就是这个代数几何与拓扑之间猜测的连结吸引了格罗腾迪克，他喜欢“将韦伊的梦想转变成有威力的工具”的想法。

格罗腾迪克之所以对韦伊猜想感兴趣，并不是因为它的名气，也不是因为别人认为它很困难。事实上，格罗腾迪克一向对困难问题的挑战没有兴趣。他感兴趣的是那种指向更宏大的隐藏结构的问题。德利涅注意到：“他的目标是为这个问题寻找或创造一个自然的栖身之所，这远比解决问题更让他感兴趣。”这种看法，和当时另一个伟大数学家纳什（John Nash）正好形成对比。纳什在他的数学全盛时期，寻找的是被他的同僚认为最重要与最富挑战性的特定问题[Nasar]。密西根大学的巴斯说：“纳什就像奥运选手，他感兴趣的是巨大的个人挑战。”如果纳什是问题解决者的典型代表，那格罗腾迪克就是理论建构者的理想范例。巴斯说格罗腾迪克“对于数学的可能性有种全面性的观照。”

1958 年秋天格罗腾迪克第一次造访哈佛大学数学系时，泰特是哈佛的教授，而系主任则是查利斯基。当时格罗腾迪克运用新发展的上同调方法，重证了查利斯基最重要成果之一的连通性定理，这是查利斯基在 1940 年代的研究。根据当时查利斯基的学生，现在布朗大学的曼弗德（David Mumford）的说法，查利斯基从来没有接受这个新方法，但他了解它的威力，并要求他的学生去接触，这正是他邀请格罗腾迪克到哈佛的原因。

曼弗德说，虽然查利斯基和格罗腾迪克的数学家风格很不相同，但两人相处融洽。传说当查利斯基在证明卡住时，会在黑板上画一条自交的曲线图形，让他能重新厘清一些概念。“谣言说他在黑板的角落画图，然后擦掉，再回来继续他的代数计算。”曼弗德解释：“他必须藉由几何图形来厘清思绪，重新建立从几何到代数的连结。”格罗腾迪克永远不会这样做，他似乎从来不从实例开始，除非是非常简单、几近无聊的例子。而且除了同调图式之外，格罗腾迪克也绝少画图。

曼弗德回忆说，格罗腾迪克第一次访问哈佛时，行前曾经和查利斯基联系。由于当时美国众院非美活动委员会的高潮期才刚过，想要获得美国签证的外国人，必须发誓不会从事推翻美国政府的活动。格罗腾迪克告诉查利斯基他拒绝发誓。当别人告诉他这样可能会入狱时，格罗腾迪克说只要学生能够来访，而且允许他阅读无碍，入狱他可以接受。

在格罗腾迪克的哈佛课堂里，曼弗德发现课程内容的抽象高度令人屏息震慑。有一次，他问格罗腾迪克某个引理要怎么证明，结果格罗腾迪克用一个非常抽象的论证来回答。曼弗德起先并不相信这种抽象论证可以证明这么具体的引理。“我离开后，想了好几天，发现这个论证真的很正确。”曼弗德回忆说：“他比起我见过的任何人都更有能力，能够以惊人之姿一跃而入更高度的抽象世界⋯⋯他永远在寻找形塑问题的各种方法，明显地剥除所有的东西，你根本不觉得还会剩下什么。但是就是有些东西还留下来，他就从近乎虚空之处找到真正的结构。”

英雄年代

在 IHÉS 的英雄年代里，丢东涅和我是仅有的成员，也是唯一能在科学界中赋予它声誉与听众的人。⋯⋯身为研究员，我觉得自己和丢东涅就像是这个机构的共同“科学”创始人，希望能在此鞠躬尽瘁！我最终强烈地感觉自己与 IHÉS 合而为一⋯⋯ ──《收割与播种》 p.169

1958 年六月，IHÉS 在旧巴黎大学一些赞助者的会议中正式成立。创办人莫特肯恩（Léon Motchane）是具有物理博士学位的商人，他希望能在法国建立一个独立的研究机构，就像美国普林斯顿的高等研究院一样。IHÉS 原初计划聚焦于三个领域的基础研究：数学、理论物理、人文科学方法。虽然第三个领域始终没有成形，但在十年之内，IHÉS 已经成为数学和理论物理领域的世界级尖端研究中心，研究员人数虽少但出类拔萃，还有十分活跃的访问学者活动。

根据科学史家奥邦（David Aubin）的博士论文[Aubin]，莫特肯恩是在 1958 年艾丁堡数学家大会中或更早之前，就说服丢东涅和格罗腾迪克出任将成立的 IHÉS 研究员。卡迪耶在[Cartier2]中写着，莫特肯恩原先想要聘请的是丢东涅，而丢东涅以同时聘请格罗腾迪克为答应的条件。由于 IHÉS 从一开始就独立于国家运作，所以尽管格罗腾迪克无国籍，聘用他并不会产生问题。这两位研究员在 1959 年三月正式就任，格罗腾迪克的代数几何讨论班则从该年五月开始。1963 年十月，在 1958 年数学家大会获得菲尔兹奖的托姆（René Thom）也加入研究员的阵容。至于 IHÉS 的理论物理组，在 1962 年聘任米歇尔（Louis Michel）为研究员，之后是 1964 年的卢埃勒（David Ruelle）。于是在 1960 年代中期，莫特肯恩已经为他的新研究院集合了一组杰出的研究人才。

在 1962 年之前，IHÉS 并没有永久的院址。当时的研究室是向提耶赫基金会租用的，讨论班就在那里或者巴黎大学进行。奥邦文中也提到，IHÉS 的早期访问学者外特曼（Arthur Wightman）曾被要求在旅馆中工作。据说曾有访问学者提到图书馆馆藏不足，格罗腾迪克的回答却是“我们不读书，我们写书！”在初期，学院的活动的确聚焦在《IHÉS 数学集刊》（Publications mathématiques de l'IHÉS）的出版上，前几册就包括格罗腾迪克的《代数几何原理》（Éléments de Géométrie Algébrique，一般缩写为 EGA）。事实上，EGA 的起草比丢东涅和格罗腾迪克正式就任 IHÉS 研究员还早半年，根据[Corr]，那是在 1958 年的秋季。

新书推荐

EGA 的公认作者是格罗腾迪克，再“加上与丢东涅的合作”。格罗腾迪克先写下讲义和书稿，丢东涅再补充细节与润色。伯瑞尔解释说，格罗腾迪克对 EGA 有整体观点，而丢东涅则只能逐行理解。他说：“丢东涅将它呈现的很密实，”不过同时，“当然丢东涅的效率惊人，没有人可以边做这件事情，还能不损及自己的研究。”对于当时想要踏入这个领域的人，从 EGA 开始学习是令人怯步的挑战。在今天，很少有人把这套书做为入门的书籍，现在已经有更多比较简单的教科书可以选择。但是这些教科书的目标不同，不像 EGA 想要完备又有系统的解释研究概形（scheme）时所需要的工具。现在任职于德国波昂普朗克数学研究所的法亭斯（Gerd Faltings），当年在普林斯顿大学时就鼓励他的博士生阅读 EGA。今日许多数学家仍然认为 EGA 是有用且全面的参考书。现任 IHÉS 院长的布居农（Jean-Pierre Bourguignon）说，EGA 现在每年的销量仍然超过 100 套。

格罗腾迪克的 EGA 写作计划范围宏大。在 1959 年八月给塞尔的信里，格罗腾迪克给出简要的概述，其中包括基本群、范畴论、留数（residues）、对偶性、相交理论、韦伊上同调群，以及“顺利的话，再加进一点点同伦论（homotopy）。”格罗腾迪克很乐观的写道：“除非遇到意外的困难，或者我陷入困顿，不然这个 multiplodocus 应该在三年内能完成，最多四年。”（multiplodocus 是格罗腾迪克和塞尔常用的玩笑用语，表示很长的论文。）格罗腾迪克沾沾自喜说：“这样我们就可以开始研究代数几何了！”不过后来 EGA 因为篇幅指数性的成长而气消力竭，该书的第一章和第二章各占了《IHÉS 数学集刊》一整册的篇幅，第三章占两册，最后的第四章用了四册，全部合起来共有 1800 页。尽管格罗腾迪克原来的计划没有完成，EGA 仍然是里程碑的巨著。

EGA 的书名显然是在呼应布巴基的丛书《数学原理》（Éléments de Mathématique），而后者又与欧几里得的经典之作《原本》（Elements）相映。格罗腾迪克在 1950 年代末之后，曾经有好几年是布巴基的成员，和许多其他成员很亲近。

所谓“布巴基”是一群数学家的假名，其中大部分是法国人，他们合作撰写一系列关于数学的基础专著。丢东涅还有昂利‧卡当、薛瓦雷、德沙特以及韦伊都是布巴基的元老。这个群体经常维持在十个人的大小，但成员组合则因时更迭。布巴基的第一本书出版于 1939 年，到了 1950 和 1960 年代，影响力更达到颠峰。他们的丛书旨在为数学核心领域提供公设法的重新处理，其一般化的程度希望可以让最多数的数学家受惠。由于布巴基的大部分成员都有强势的个性以及非常特殊的个人观点，因此这些专著都是在成员活跃的、甚至火爆的讨论中撰写出来的。伯瑞尔是布巴基为时 25 年的成员，他说这样的合作可能是“数学史上绝无仅有的事件”[Borel]。布巴基聚集了当时一些最顶尖的数学家，无私匿名的奉献许多个人时间和精力，让许多数学领域得以整理呈现。布巴基这套丛书造成很大的衝击。不过到了 1970 和 1980 年代，开始出现布巴基影响过大的杂音，有些数学家批评这套书的风格太过抽象化和一般化。

布巴基和格罗腾迪克的工作，在一般性与抽象性的层级上有一定的相似性，也都希望能达成根本的、彻底的，以及系统性的目标。他们主要的分野在于，布巴基的涵盖面遍及数学许多领域，而格罗腾迪克只集中于发展代数几何的新概念，以韦伊猜想当作首要目标。另外，格罗腾迪克的著作几乎全是以他个人的内在观点为核心，而布巴基则是集体的贡献，是从所有成员的观点冶炼出来的综合体。

伯瑞尔在[Borel]中记载了 1957 年三月，后来被戏称为“僵固函子大会”（Congress of the inflexible functor）的布巴基聚会，当时格罗腾迪克建议将布巴基关于层论的草稿，以更接近范畴论的观点重写。布巴基放弃这个想法，他们认为这样做可能会导致基础重建无止境的循环。塞尔回忆说，格罗腾迪克“无法真的和布巴基合作，因为他有他自己的庞大机器，对他来说，布巴基的一般性还是不够。”另外塞尔还附带说：“我不认为他喜欢布巴基的系统，因为我们要真的讨论并批评草稿的细节。⋯⋯这不是他做数学的方式，他想要自己来。”格罗腾迪克在 1960 年离开布巴基，虽然他仍然和其中许多成员很亲近。

谣传格罗腾迪克之所以离开布巴基，是因为和韦伊起冲突。不过事实上，他们两人在布巴基的重叠时间很短暂，根据布巴基的会规，成员必须在 50 岁后退出，因此韦伊在 1956 年离开。不过，格罗腾迪克和韦伊的确是很不同的数学家，就像德利涅说的“韦伊觉得格罗腾迪克对意大利几何学家的成果以及过去的文献太过无知，韦伊也不喜欢他炮制巨大机器的数学作风。⋯⋯他们的风格差异很大。”

除了 EGA 之外，格罗腾迪克的代数几何著作里，另一个主要部分是简称为 SGA 的《代数几何论丛》，其中包括了他在 IHÉS 讨论班讲演的文字稿。这套书最初由 IHÉS 发行，SGA2 是由北荷兰与曼森（North-Holland and Masson）两出版社共同出版，剩下的册次则由司普林格出版社（Springer Verlag）出版。SGA1 包含了 1960-1961 年的讨论班讲演，而最后一册 SGA7 则是 1967-1969年 的部分。EGA 的目标是为代数几何奠定基础，对照之下，SGA 则记录了呈现在格罗腾迪克讨论班中持续发展的代数几何研究。另外，格罗腾迪克曾经在布巴基巴黎讨论班中发表许多他的研究，后来被汇集成《代数几何基础》一书（Fondements de la Géométrie Algébrique，简称为 FGA），印行于 1962 年。EGA、SGA 与 FGA 合起来的总页数达到 7500 页。

神奇的扇叶

如果数学中有种东西，远比其他任何事物更吸引我（而且无疑地永远如此），它既不会是“数”，也不是“量”，永远是形式。而在形式藉以显现的一千零一种面貌中，最令我神驰，而且一直如此着迷的，是隐藏于数学对象中的结构。 ──《收割与播种》 p.27

在《收割与播种》的第一册里，格罗腾迪克为非数学家提供了他研究工作的说明性概述（pp.25-48）。他写道，在最根本的层次，他的工作想要统一两个世界：“算术世界，其中的（所谓）‘空间’并没有连续性的概念，另一个是连续世界，其中的‘空间’和日常的理解相当，可以用分析的方法来处理。”韦伊猜想之所以那么吸引人，正是因为它提供了一统这两个世界的线索。不过与其尝试直接解决韦伊猜想，格罗腾迪克宁可将其中整个理路脉络加以大幅度的推广。这样的广度可以让格罗腾迪克感受到，韦伊猜想所存身、但却只能藉由猜想惊鸿一瞥的更广阔结构。在《收割与播种》的这一节里，格罗腾迪克解释了他研究中的一些关键概念，例如概形、层、拓扑范（topos）。

基本上，概形就是代数解形概念的推广。给定一系列不同质数特征的有限体，概形可以因此产生一系列的代数解形，每一个都拥有自己独特的几何性质。“这一系列因不同特征数而得的不同代数解形，可以视为‘无穷的解形扇叶’（每一特征数对应到一叶）。”格罗腾迪克继续写着：“所谓‘概形’就是这个神奇的风扇，连结所有可能特征数的‘分支’、‘分身’或者‘轮回化身’。” 这个推广到概形的概念，容许我们以统一的方法来研究代数解形的不同“化身”。迈克尔‧阿廷评述说，在格罗腾迪克之前，“我不认为人们真的相信可以这样做，这太激进了。从来都没有人敢想像这是可能的方法，敢想像在完全的一般性中进行研究，这真是非常惊人。”

从 19 世纪意大利数学家贝堤（Enrico Betti）开始，同调理论以及其对偶的上同调理论被发展成研究拓扑空间的工具。基本上，上同调所提供的不变量，可以做为度量某个空间向度的“量杆”。由韦伊猜想潜藏的洞见所闪烁出的火花，让人们强烈希望改造拓扑空间的上同调方法，应用于代数解形与概形。这个希望在格罗腾迪克与其合作者的研究中相当程度的实现了。曼弗德说，为代数几何“引入上同调方法，就像黑夜与白天，它将整个领域颠覆了。这就像出现傅立叶分析之前与之后的分析学，一旦掌握了傅立叶分析的技术，突然之间你对函数就有了一种整体又深刻的洞识，上同调理论也类似这样。”

层的概念是勒黑的创见，后来更由昂利‧卡当与塞尔深入发展其理论。在塞尔被称为 FAC 的突破性论文《代数连贯层》（Faisceaux algébriques cohérents）[FAC]，塞尔展示了如何在代数几何中运用层论。格罗腾迪克在《收割与播种》中没有明确的说明层的概念，但他描述这个概念如何改变了理论的风貌。当层论的概念上场后，情况就像原来美好古老的上同调标准“量杆”，突然繁衍出无穷多的崭新“量杆”，具有不同的尺度和形式，每一种都完美的适用于各自特定的测量目标。更重要的是，一个空间所有层所形成的范畴，其资讯丰富到我们基本上可以“忘掉”原来的空间。所有的空间资讯都藏在层当中，格罗腾迪克称之为“沉默又可靠的引路人”，带领他走上发现的道路。

格罗腾迪克写着，拓扑范是“空间概念的变形”。透过层的概念，我们可以将空间所存身的拓扑架构，转译为层范畴所存身的范畴论架构。于是，一个拓扑范可以被描述成一个范畴，它并不需要出自正常的空间，但却具备层范畴所有的“好”性质。格罗腾迪克写道，拓扑范的概念强调了一个事实，“在拓扑空间中，真正重要的不是‘点’或点构成的子集，也不是邻近的关系等等，而是空间上的层，以及其所构成的范畴”。

德利涅说，为了建立拓扑范的概念，格罗腾迪克“对空间观念做了很深刻的思考。”德利涅解释说：“他为了理解韦伊猜想所发明的理论，首先就是发展拓扑范的概念，这是空间观念的推广，然后再为这个问题定义适用的拓扑范。”格罗腾迪克也展示出“事情真的行得通，我们关于正常空间的直觉，[在拓扑范]上也成立⋯⋯这是非常深刻的想法。”

在《收割与播种》中格罗腾迪克曾评论说，从技术观点，他的数学研究都是在发展当时正缺乏的上同调理论。譬如格罗腾迪克、迈克尔‧阿廷，还有其他人所发展平展上同调（étale cohomology）理论就是一例，这是为了应用于韦伊猜想而发展的理论，也正是他们证明的关键要素之一。不过格罗腾迪克前进得更为深入，他后来发展出模谛（motive）的概念，格罗腾迪克将模谛描述成一个“终极的上同调不变量”，其他的上同调不变量都是它的不同体现或化身。虽然完整的模谛理论至今还未成形，但是这个概念已经产生很重要的数学成果。例如在 1970 年代，高等研究院的德利涅和朗兰兹（Robert Langlands）猜测模谛与自守表示（automorphic representation）之间的确切关系，这项猜想首见于 1977 年朗兰兹的文章[Langlands]，现在是所谓朗兰兹纲领的一部份。多伦多大学的亚瑟（James Arthur）说，想要证明这项猜想最广义的形式还需要几十年。不过他指出，怀尔斯（Andrew Wiles）对费马最后定理的证明，基本上就是这项猜想在椭圆曲线二维模谛的情况。另一个例子，则是美国高等研究院渥伊沃茨基（Vladimir Voevodsky）的模谛上同调理论研究，他以这项成就获得 2002 年的菲尔兹奖，而这正是奠基于格罗腾迪克对模谛的原创想法。

在这段回顾自己数学研究的简短反思中，格罗腾迪克写道，构成他研究的本质与威力的，不是成果或大定理，而是“观念，甚至梦想。”（p.51）

格罗腾迪克学派

一直到 1970 年的第一次“觉醒”，我和学生的关系，就像我和自己研究的关系一样，都是我满足和欢乐的泉源，是我生命和谐的某种实质与无可置疑的基础，而且仍然持续赋予它意义⋯⋯ ──《收割与播种》 p.63

在 1961 年秋季的一次哈佛之行中，格罗腾迪克写信给塞尔说：“哈佛的数学气氛十分美好，比起逐年阴郁的巴黎，在这里可以闻到真正新鲜的空气。此处有相当多的聪明学生，正开始熟悉概形的语言，专心致志于研究源源不绝的有趣问题。”[Corr]。当时迈克尔‧阿廷刚在 1960 年完成查利斯基指导的博士论文，并成为哈佛的普尔斯（Benjamin Peirce）讲师。一完成论文，阿廷就开始学习概形的新语言，也开始对平展上同调理论产生兴趣。阿廷笑着回忆说，当格罗腾迪克 1961 年来到哈佛时，“我请他告诉我平展上同调群的定义”，但是当时这个概念根本还没有清楚的定义，他说：“事实上为了这个定义，我们争论了整个秋天。”

1962 年，阿廷转职到麻省理工学院后，带领一个讨论平展上同调的讨论班，在接下来的两年，他大部分时间都待在 IHÉS 和格罗腾迪克一起工作。因为即使平展上同调的定义已经完成，仍然还要花许多功夫整饬，才能让它变成真正实用的工具。曼弗德说：“定义看起来美妙极了，但不保证它是有限的，或可以计算，或任何事。”这项阿廷和格罗腾迪克投入的研究，成果之一是阿廷可表示定理（Artin representability theorem）。阿廷和维杰尔（Jean-Louis Verdier）一起主持 1963-1964 年的讨论班，专注于平展上同调理论的探讨。这个讨论班的成果，最后写成 SGA4 的三巨册，篇幅多达1600页。

有些人也许不同意格罗腾迪克对 1960 年代早期巴黎数学圈的“阴郁”评价。不过他 1961 年回到 IHÉS 并重启讨论班，无疑为学界注入了一剂强心针。阿廷说讨论班的气氛真是“棒极了”，其中尽是巴黎数学家的领导菁英，同时又有从各地来访的数学家。一群聪颖又热情的学生开始围绕在格罗腾迪克身边，在他的指导下撰写学位论文（IHÉS 并不颁授学位，因此这些学生形式上仍然是巴黎与其周边大学的学生）。1962 年，IHÉS 已经搬到巴黎近郊毕悠（Bures-sur-Yvette）的永久院址，座落在宁静、充满树木的玛丽森林（Bois-Marie）公园中间。讨论班所在的建筑形似观景厅，有着大片的景观窗户，开阔而气韵流动的氛围，提供了一个非比寻常、戏剧性的场所。而格罗腾迪克则是所有活动的灵魂人物。1960 年代访问 IHÉS 的巴斯回忆说：“讨论班的进行互动频繁，不过不管谁是主讲人，格罗腾迪克都主宰了全场。”格罗腾迪克非常严格，有时对人很强势，“他并不是不友善，但也不会包容。”

格罗腾迪克发展出一种和学生相处的模式。典型的例子是现任职于南巴黎大学（巴黎第十一大学）的易路齐（Luc Illusie），他在 1964 年成为格罗腾迪克的学生。易路齐曾经参加昂利‧卡当和史瓦茨的巴黎讨论班，卡当建议他跟格罗腾迪克做博士论文。易路齐当时只学过拓扑学，因此要面对这位代数几何之“神”时，觉得很担心，结果格罗腾迪克很亲切和友善，要易路齐解释他当时进行的研究课题。不过在易路齐短短讲了一些之后，格罗腾迪克就走向黑板，开始了一段关于层、有限性条件、拟连贯性（pseudocoherence），以及类似概念的讨论。易路齐回忆说：“那就像汪洋大海一样，黑板上不停地流动着数学的概念。”结束时，格罗腾迪克说他明年的讨论班将讨论 L 函数和 l 进上同调群，而且将由易路齐来撰写讨论班讲义。当易路齐抗议他根本不懂代数几何时，格罗腾迪克说那无所谓，“你会学得很快。”

结果易路齐做到了。他说：“格罗腾迪克的演讲非常清楚，而且他花了很多力气回顾必要的材料，以及所有的预备知识。”格罗腾迪克是位很好的老师，既有耐性，又善于清晰阐释。易路齐也说：“他会花很多时间解释非常简单的例子，展示其中机转的运作方式。”格罗腾迪克会去讨论形式化的性质，这类性质经常被人用“平凡的”（trivial）为理由而漠视，被视为太过显然因此不需解释。易路齐说：“大家不想特别去讨论，不想浪费时间。”但是这类性质在教学上十分有用。“虽然过程有时候略显冗长，但是对于概念的理解却非常有好处。”

格罗腾迪克指定易路齐撰写讨论班某些讲题的笔记，亦即 SGA5 的第一、二、三章。易路齐回忆当他写完，“交给他时，我浑身颤抖。”几个星期后，格罗腾迪克请易路齐到他家讨论笔记（他经常在家里和同僚或学生工作）。当格罗腾迪克拿出笔记摊在桌面上时，易路齐看到上面都是铅笔写的评注。格罗腾迪克逐条讨论每项评注，两个人就这样对坐几个小时。易路齐说：“他可能对逗号有意见、对句号有意见，他也批评表音记号的标记，但是他也深刻批评某些东西的实质部分，并建议另一种整理的方式──他有各式各样的意见，但他所有的评论都切入要点。”这种对笔记逐行评论的方式，是格罗腾迪克和学生一起工作的典型方式。易路齐还记得有些学生无法承受这么近距离的批评，最后找了别人当论文指导老师。有人甚至在和格罗腾迪克会面后几乎要哭出来。易路齐说：“我记得有些人非常不喜欢这种方式，你得要顺服⋯⋯[但是]这些不是无的放矢的意见。”

卡兹在 1968 年访问 IHÉS 做博士后时，格罗腾迪克也指派他工作。格罗腾迪克建议卡兹在讨论班中做一次关于列夫谢兹束（Lefschetz pencils）的演讲。“我听过列夫谢兹束，但除了听过之外，我其实一无所知。”卡兹回忆说：“结果在那一年年底，我已经在讨论班上做过几次讲演，其内容就是现在 SGA7 的一部份。我学到很多东西，对我的未来影响很大。”卡兹说格罗腾迪克在 IHÉS，大约一周会花一天和访客会谈。“令人非常惊讶的是，他不知怎么就可以让他们对某个东西产生兴趣，给他们工作做。”卡兹继续解释说：“对我来说就像是，他对于该给这个特定的人思考什么样的好问题，有种惊人的洞察力。而且格罗腾迪克在数学方面有种难以置信的神采魅力，让人觉得能参与他未来的宏远愿景，几乎是一种殊荣。”

哈佛大学的梅哲（Barry Mazur）在 1960 年代早期访问 IHÉS，他到今天都还记得格罗腾迪克在他们前几次会面时给他的问题。那最先是瓦许尼泽问格罗腾迪克的问题：定义在某个体的代数解形，在不同的复数嵌入方式下，有没有可能得到拓扑互异的流形？塞尔早期已经给过例子，显示两个流形可能不同。受到这个问题的启发，梅哲曾经和阿廷继续做过某些同伦论方向的研究。不过到了格罗腾迪克向他提出这个问题时，梅哲已经是专业的微分拓扑学家，不会再回头想这类问题。梅哲说：“对[格罗腾迪克]来说，这是自然的问题。但对我来说，这正好是最适切的动机，让我开始思考代数的问题。”梅哲说格罗腾迪克具有一种真正的才能“为人和问题配对，他会量身打造适合你的问题，这个问题将会照亮你的世界。这种特别的感知能力，非常美妙，而且很罕见。”

除了在 IHÉS 和学生、同僚一起工作之外，格罗腾迪克也和巴黎以外的许多数学家保持通信联络，其中有些人是在别的地方进行他的计划。例如加州大学柏克莱分校的哈特敻（Robin Hartshorne）1961 年时人在哈佛，从格罗腾迪克在哈佛的演讲中，找到他博士论文主题的想法，那是关于希尔伯特概形的问题。博士论文一完成，他就寄了一份给已经回到巴黎的格罗腾迪克。在 1961 年 9 月 17 日的回信中，格罗腾迪克先对论文做了简短的正面评价，“[信里]接下来的三到四页，是更多未来我或许可以发展的定理的想法，以及针对这个主题大家可能想知道的事情。”哈特敻说信中建议的想法有些“极端困难”，但其他则展现了他卓越的先见之明。在格罗腾迪克倾倒出这些想法之后，他才又回到哈特敻的论文，提供三页详细的意见。

1965 年左右的格罗腾迪克

在 1958 年艾丁堡数学家大会上，格罗腾迪克概述了他关于对偶性理论的想法，但因为他在 IHÉS 的讨论班忙于其他课题，所以并没有处理这个问题。于是哈特敻自愿在哈佛举办对偶性的讨论班，并且撰写笔记。1963 年夏季，格罗腾迪克提供哈特敻大概 250 页的“前期讲义”，做为讨论班的基础架构。哈特敻在 1963 年秋季开始进行讨论班，听众提出的问题协助他发展并精炼这个理论，而哈特敻也开始有系统的将它整理出来。他将每章寄给格罗腾迪克征询意见，哈特敻回忆：“稿件回来时，上面充满了红色墨水的评注，我照他说的每项订正，再将新版本再寄给他，结果回来时上面又覆满了更多的红色意见。”当哈特敻意识到这样的来来回回可能没完没了时，有一天他决定将文稿送印发行；在 1966 年的司普林格的“数学讲义丛书”（Lecture Notes in Mathematics）中出版[Hartshorne]。

据哈特敻的观察，格罗腾迪克“点子非常多，在那段时间，他几乎让全世界认真研究代数几何的人都忙碌不休。”他如何持续推动这整个大业呢？阿廷说：“我不觉得有简单的答案。”当然格罗腾迪克的精力与广度一定是个中原因。阿廷继续说：“他精力充沛，而且他的研究确实覆盖了许多领地。惊人的是，他完全主导这个领域大约 12 年，没有让任何无能之辈参与其中。”

在格罗腾迪克的 IHÉS 岁月里，他全心全意投入数学。格罗腾迪克做研究的庞大精力与能力，再加上他对内心愿景的执着忠诚，产生源源不绝的想法，将许多人卷入洪流之中。格罗腾迪克对于他为自己规划而令人畏惧的计划从不退缩，他坦然投身其中，事无大小勇于承担。巴斯说：“他对数学的规划远超出一个人的能力。”他将许多工作分配给他的学生和合作者，当然他自己也负责很大的部分。就如他在《收割与播种》中解释的，他的动机单纯就只是一种想要理解的欲望。事实上，当时认识他的人都肯定，格罗腾迪克完全不是被任何意义的竞争想法所驱策。塞尔说：“那个时候，完全没有要比什么人先证明什么东西的想法。”而且退一步说，“在某种意义下，他根本不可能去和别人竞争，因为他想用自己的方法做研究。基本上没有人愿意做类似的事情，那太繁重了。”

格罗腾迪克学派的强势地位也造成一些不好的影响，即使是格罗腾迪克杰出的 IHÉS 同事托姆也感受到压力。在[Fields]中托姆说，比起其他 IHÉS 的同事，他和格罗腾迪克的关系“比较不融洽”。托姆写着：“他有压倒性的技术优势，他的讨论班吸引了整个巴黎数学界，而我却拿不出什么新东西，这让我离开纯粹的数学界，转而处理更一般的观念。例如型态发生学（morphogenesis），这是更吸引我的主题，引导我到一种非常广义形式的‘哲学’生物学。”

1988 年教科书《大学代数几何》的作者李德（Miles Reid）在书后的历史评注写道：“对格罗腾迪克的个人崇拜有严重的副作用。许多奉献一生大部分时间，去熟悉韦伊[代数几何]基础观点的人，受到排斥与羞辱。⋯⋯一整个世代的（主要是法国）学生受到洗脑，愚蠢的相信如果一个问题不能用高度的抽象形式盛装打扮，就不值得研究。”就当时的潮流，这样的“洗脑”也许是不可避免的副作用，但是格罗腾迪克本人倒是从不寻求为抽象而抽象。李德也指出，除了格罗腾迪克一小部分可以“跟上脚步，生存下来”的学生，被他的想法影响而获益最大的是比较远距离的人，尤其是美国、日本，以及俄罗斯的数学家。卡迪耶就在俄罗斯数学家的研究中看到格罗腾迪克的传承，包括德林费尔德（Vladimir Drinfeld）、孔策维奇（Maxim Kontsevich）、马宁（Yuri Manin）、以及渥伊沃茨基。卡迪耶说：“他们不但掌握到格罗腾迪克的真精神，而且能够将它与其他东西结合起来。”

译者附记：译者感谢李宣北、赵学信提供许多译文的宝贵意见。本文参考资料请见〈数理人文资料网页〉http://yaucenter.nctu.edu.tw/periodical.php

延伸阅读

1. Pragacz, Piotr, Note on the Life and Work of Alexander Grothendieck (2004).

原文为波兰文，由 Janusz Adamus 译为英文。可以和本文并读。

http://www.math.jussieu.fr/~leila/grothendieckcircle /pragacz.pdf

2. Grothendieck Circle（格罗腾迪克圈网站）

http://www.grothendieckcircle.org/

3. Grothendieck: Biography, Mathematics, Philosophy.

三册书的计划，本网页是第二册的材料，包括格罗腾迪克较深入的数学题材与相关的传记资料。

http://www.math.jussieu.fr/~leila/grothendieckcircle/peyresqbooks.html

《数理人文》是一本具国际观的科普杂志，由著名数学家丘成桐先生主编，邀请当代第一流的数学家与科学家，谈谈他们的研究经历和成功经验。让活跃在研究前沿的科学家，用轻松的文笔，通俗的介绍数学及各领域激动人心的最新进展；导览某个科学专题精彩曲折的发展历史；描述数学在现代科学技术中的广泛应用。内容题材以数学、物理及工程为经，人文为纬，以促进数理人文教育。欢迎订阅或推荐图书馆订购 International Press of Boston 的期刊，详情请浏览：intlpress.com