Manitori

Zariski的名字估计学代数几何的人都耳熟能详，先是入门时期的交换代数教材，然后就是深入研究时期随处可见的Zariski拓扑。本帖我们分享的便是著名的Zariski交换代数教材。Oscar Zariski & Pierre Samuel写的交换代数经典教材Commutative Algebra，该教材也是学习代数几何的经典入门前置教材之一，用于补充交换代数相关的前置知识。毕竟众所周知，代数几何的基础是抽象代数，尤其是交换代数，因此想要学习代数几何，就必须要有交换代数方面的扎实基础。交换代数方面的经典教材不少，包括Atiyah的那本Introduction To Commutative Algebra，那本书篇幅较小，更为简略感觉更加适合新人小白。而Zariski的Commutative Algebra则内容更加完备、更为系统性，该教材分为两本，基本上把代数几何相关的交换代数内容全都梳理了一遍。因此，Zariski的这本教材不仅可以作为初学者的交换代数入门教材，还能作为交换代数的词典用于查阅交换代数相关的知识。Zariski的这本教材，我记得当年网络上能找到的只是Commuta ...

在前面两帖Zariski交换代数经典教材Commutative Algebra系列（pdf可复制版）和 Atiyah交换代数经典入门教材：Introduction to Commutative Algebra 中，我分享了Zariski和Atiyah的交换代数教材。在本帖中，我把Matsumura的教材也分享出来。在这里我重新回顾一下这三本教材的区别。首先，Zariski的教材很完备，但是篇幅过长，而且内容太过经典了，没有另外两本那么与时俱进。因此Zariski的教材更加适合作为交换代数的词典用于查阅。当然如果你不需要按部就班从头到尾的看完一本书，Zariski的教材选择性的跳着看，完全可以作为入门教材。我高中的时候就是看Zariski的教材的。Atiyah的教材是这三本教材中最简单的，也是篇幅最短的。而Matsumura的教材篇幅要比Atiyah的长一些，并且Matsumura的教材有一些Atiyah中没有的概念，因此也值得一读，不过Atiyah教材的表达要更加通俗易懂一些。因此，我的建议是三本教材都读一读，但没必要全部看完，把需要掌握的基础概念都掌握了就行。读文献时有些术语找不到， ...

在上帖中，我分享了Zariski的交换代数教材：Zariski交换代数经典教材Commutative Algebra系列（pdf可复制版）。其实交换代数方面，除了Zariski的教材，还有Atiyah的Introduction to Commutative Algebra，以及Matsumura的Commutative Ring Theory可以作为交换代数的入门教材。Atiyah的教材是这三本教材中最简单的，Zariski的教材虽然很完备，但是篇幅过长，而且内容太过经典了，没有Atiyah的教材那样更加贴近新时代。而Matsumura的教材篇幅要比Atiyah的长一些，而且似乎感觉Atiyah的表达更加通俗易懂一些，毕竟Atiyah是众所周知的大师级人物。下面我们来回忆一下Atiyah的一些人物轶事。Atiyah作为与Serre齐名的伟大数学家，他最著名的工作即是与辛格一起证明了指标定理（Atiyah-Singer Index Theorem）。而Atiyah也与Grothendieck关系匪浅，见下图😁而Atiyah对物理也同样非常感兴趣，他与很多物理学家合作研究过，包括知名的唯一 ...

我的提问：一个整环$R$中的元素$p$是素的，如果$p$不是零或者一个单元，并且$p|ab$意味着$p|a$或者$p|b$（等价的$ab\in Rp$意味着$a \in Rp$或者$b\in Rp$）。一个整环$R$的元素$q$是不可约的，当$q$不是零或者一个单元，并且$q = ab$意味着$a$或$b$是一个单元。那么素数在整数整环中是素的吗？然后素数都是不可约的吗？回答1：这两个问题的都是对的。根据基础数论的事实，$\pm 1$是唯一可逆的整数，除$\pm 1$以外的整数可以唯一地表示为不同素数的乘积加上$\pm$，每个素数的幂都是正整数，这两个结果都很容易得到。回答2：素数在整数整环中既是素的，也是不可约的。根据定义，它们就是不可约的。为了证明它们是素的，请回顾一下欧几里得算法，该算法用于找到两个整数的GCD（并同时证明任意两个整数都有一个在等价意义下唯一的GCD，其中并不涉及素数的分解）。根据欧几里德算法可以得出，如果$d=\gcd(a,b)$对两个整数$a,b\in\mathbb Z$，则存在整数$u,v\in\mathbb Z$使得$d=ua+vb$。（贝祖特性。）现在， ...

My question: For example, the sum in the partition of unity, and the polynomial expression in abstract algebra.Answer: Sums with an infinite number of terms (or "series" in more formal terms) need some extra conditions to make sure they are "well behaved". Otherwise you can get paradoxes like the following:$$\begin{align} &S = 1 + 1 + 1 + \dots \\ &\Rightarrow 2S = 2 + 2 + 2 + \dots \\ &\Rightarrow 2S = (1+1) + (1+1) + (1+1) + \dots \\ &\Rightarrow 2S = 1 + 1 + 1 + \dots \\ & ...

My question: I fail to understand how the induction step is carried out in this proof. Can anyone help? Thanks!Answer: Fix $n = deg B$. They are proving the statement by inducion on $m = deg A$. The base case is $m < n$. If $m \geq n$, then they find another polynomial $A'$, in this case $A' = A - B a_m X^{m - n}$, which has degree smaller than $m$, so we can deal with it by induction hypothesis. The quotient-and-remainder representation of $A'$ is used to find that of $A$.I suppose there are ...

In this article, we discuss the following questions:Can we extend the complex numbers in any way such that $\mathbb{C} \subset\mathbb{C}[a]$ ? Or is $\mathbb{C}$ the extension to end all extensions?Surrounding these questions, we will provide two methods that extend the complex field $\mathbb{C}$.Method 1: The cartesian product of fields $$P = {\Bbb C}\times{\Bbb C}\times\cdots$$ isn't a field because has zero divisors: $$(0,1,0,1,\cdots)(1,0,1,0\cdots)=(0,0,0,0,\cdots).$$But a quotient will be ...

We need to prove the following proposition:Let $F$ be a field containing $\mathbb{R}$ with the property that $\dim_{\mathbb R}F < \infty$. Then either $F \cong \mathbb R$ or $F \cong \mathbb C$.We give three proof in the following, where the first one is the most simple, and the last one is the most complicated.Proof 1. By the uniqueness of the algebraic closure, we have an embedding $F \hookrightarrow \mathbb C$, hence we have $\mathbb R \subset F \subset \mathbb C$. The result follows from ...